Теорема Байеса в покере: простое объяснение и примеры применения

Основная идея заключается в следующем: теорема Байеса — это математический способ уточнять ваши прогнозы и убеждения по мере поступления новых доказательств.

Представьте, что знания о каком-то событии — это не статичная картинка, а «живая» оценка, которая должна меняться, когда вы получаете новую информацию. Теорема Байеса говорит: «Когда появляются свежие данные, обнови свои взгляды, пересчитай вероятность».

Формула Байеса

Если вы не математик, формула будет выглядеть жутковато. При игре в покер ее не понадобится запоминать, даже не придется делать какие-либо вычисления за столом. Но уж если пошла речь о принципе Байеса, дадим и формулу:

Буквой «P» в математике принято обозначать вероятность, а вертикальная черта позволяет записать фразу «при условии, что». A и B — это взаимосвязанные события.

• P(A) — начало всех рассуждений. Это первоначальная или, как говорят математики, априорная вероятность. Например, в техасском холдеме мы знаем на основе наблюдений, что некий игрок редко блефует на ривере — 1 раз из 20 или с вероятностью 5%.
• P(B) — такая же априорная вероятность для события В. Пусть наш соперник недавно проиграл крупный банк. В нашем примере «событие B» выглядит так: вероятность блефа при текущем минусе в сессии увеличивается до 20%.
• P(A|B) — вероятность наступления события А при условии, что произошло событие В. Иначе — «обновленное предположение».
• P(B|A) — апостериорная, то есть полученная на основе дополнительного анализа, вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А. То есть с учетом нового наблюдения или опыта. Иначе это называют «правдоподобием».

Не нужно подробно углубляться в это. На практике это выглядит примерно так: сначала есть исходное убеждение или предположение. Затем в ходе наблюдения или эксперимента поступают новые данные. На их основе обновляют первоначальное убеждение.

В покере ничего не вычисляют. Речь идет о применении не формулы, а принципа или метода Байеса.

Пример из жизни

Чтобы разобраться, как метод Байеса применять в покере, рассмотрим классический пример спама в почтовом ящике. Нам нужно определить, с какой вероятностью пришедшее письмо является ненужной рассылкой, если мы заметили в нем слово «кредит».

Введем обозначения и данные:

• Событие A: письмо — спам.
• Событие B:в письме есть слово «кредит».
• P(A) — начальная вероятность спама. Мы предположили, из всего потока писем 20% — это спам

P(Спам) = 0.2 Следовательно, P(Не спам) = 0.8

• P(B|A) — вероятность увидеть слово в спам-рассылке. Мы изучили базу уже полученных ненужных писем и выяснили, что слово «кредит» встречается в 50% из них.

P(«кредит» | Спам) = 0.5

• P(B|НЕ A) — вероятность увидеть слово в НЕ спаме. Мы проверили обычные письма и обнаружили, что слово «кредит» встречается в них гораздо реже, допустим, в 1% случаев. Это могут быть полезные письма от банка, коих мы получаем очень мало.

P(«кредит» | Не спам) = 0.01

Шаг 1: Рассчитаем общую вероятность встретить слово «кредит» — P(B). Слово может появиться в двух случаях:

1. Письмо является спамом, и в нем есть «кредит».
2. Письмо НЕ является спамом, и в нем есть «кредит».

Чтобы найти полную вероятность, мы складываем вероятности этих двух несовместимых событий:

• Вероятность 1: P(Спам) * P(«кредит» | Спам) = 0.2 * 0.5 = 0.10
• Вероятность 2: P(Не спам) * P(«кредит» | Не спам) = 0.8 * 0.01 = 0.008
• Итого общая вероятность слова «кредит»: P(«кредит») = 0.10 + 0.008 = 0.108

Шаг 2: Применяем формулу Байеса

Теперь мы можем корректно рассчитать искомую вероятность — того, что письмо спам, при условии наличия слова «кредит».

• P(Спам | «кредит») = [ P(«кредит» | Спам) * P(Спам) ] / P(«кредит»)
• Подставляем наши числа: P(Спам | «кредит») = (0.5 * 0.2) / 0.108 = 0.1 / 0.108 = 0.9259

Вывод: вероятность того, что письмо является спамом, при наличии в нем слова «кредит», составляет примерно 92.6%. Это очень сильно выше наших первоначальных ожиданий. Такое знание позволит настроить фильтр для рассылок.

Примеры для покера

Если отбросить всю математику, можно сформулировать такое понимание: теорема Байеса в покере — это формализованный способ читать оппонентов. Вы постоянно обновляете ваше представление о руке соперника на основе его действий.

Основная идея:

1. У вас есть начальное предположение, скажем, о диапазоне рук оппонента.
2. Соперник совершает некое действие (чек, бет, колл, рейз).
3. Вы пересматриваете свое предположение, сужая диапазон рук, с которыми он мог бы так сходить.

Еще нужно учитывать размер ставки, структуру доски, историю в целом и в конкретной сессии и пр. Это тоже можно отнести к пункту 2.

Пример 1.

Сужение диапазона соперника после ставки на флопе. Разберем раздачу в техасском холдеме.

• Начальное предположение (P(A)): вы на большом блайнде, оппонент на баттоне. Вы считаете, что его начальный диапазон для префлоп-рейза с баттона довольно широк: любые пары, картинки, AXs, коннекторы и т.д. (допустим, 45% всех рук).
• Новое доказательство (B): флоп пришел Т♦-8♣-2♠. Вы играете чек, оппонент ставит контбет.
• Вопрос: Какой теперь диапазон у него?

Применяем байесовское мышление:

• Правдоподобие (P(B|A)). С какой вероятностью оппонент ставит на таком сухом флопе? Его бет гораздо более вероятен с тремя категориями рук: сильными (сет, старшая пара), с недостроенной комбинацией — дро или с абсолютным мусором. Любое самое мелкое совпадение или низкая карманная пара здесь будут пытаться задешево доползти до вскрытия или бесплатно усилиться на терне.
• Обновленное предположение (P(A|B)). Мысленно убираем из его исходного диапазона все руки, которые почти никогда не станут ставить на этом флопе. Диапазон соперника сузился как минимум на треть. Теперь вы стоите против:

сильных рук (пары на флопе, иногда сета), рук с потенциалом (дро), полных блефов.

Вы обновили свою модель поведения оппонента. Вы не знаете его конкретную руку, но теперь дальнейшие решения (колл, фолд, рейз) будут более точными, потому что основаны на более узком и реалистичном спектре.

Пример 2.

Рейз на терне — оценка силы руки противника.

Ситуация: флоп 9♥-7♠-2♦, вы ставите с рукой J♥-9♠ (пара с несильным кикером), оппонент коллирует.

• Ваше начальное предположение (P(A)). Диапазон оппонента после колла на флопе может включать: совпадение по девятке (A9, K9); стрит-дро (например, 8-6); оверпары (TT, JJ), которые пока просто коллируют; реже — сеты, которые играют замедленно.

• Новое доказательство (B). Терн приходит 4♥. Никакие дро не закрылись. Вы ставите снова, и оппонент НЕ коллирует, а делает рейз.
• Вопрос: Какова теперь вероятность, что у него сет или две пары?

Применяем байесовское мышление:

• Как часто он так играет? (Правдоподобие, P(B|A)).

• С сетом на терне? Очень вероятно (P ~95%). Он поймал сильную комбинацию на флопе и агрессивно ее защищает от флеша или стрита, заставляя нас дорого платить.
• С флеш-дро, которое открылось на терне? Маловероятно (P ~10%), так как наша ставка немаленькая. Большинство игроков просто коллируют в такой ситуации.
• С пустой рукой? Возможно, но еще более маловероятно (P ~5%). Некоторые игроки могут блефовать в такой спот, но это никак не стандартная линия.

Пересчитываем вероятность (P(A|B)). До терна в диапазоне оппонента было много рук: оверкарты, стрит-дро, слабые пары. Но его рейз является очень сильным сигналом.

Это действие сильно фильтрует диапазон противника. Руки, которые не являются сильными (мелкая пара) или не имеют эквити для полублефа (флеш-дро без шансов улучшиться), почти исключаются.

Вывод: после рейза вероятность того, что он поймал сильную комбинацию сет или две пары, стала очень высокой. Наше совпадение по девятке теперь, скорее всего, проигрывает. Правильным решением будет фолд.

Пример 3.

Принятие решения о блефе против не агрессивного оппонента.

Теорема Байеса работает и для атакующей игры. Пусть вы хотите совершить блеф на ривере.

• Начальное предположение (P(A)). Вы считаете, что диапазон оппонента состоит в основном из рук, которые не являются сильными.
• Новое доказательство (B). На протяжении раздачи оппонент был пассивен — действовал через чек-колл.
• Обновленное предположение (P(A|B)). Его пассивность увеличивает вероятность того, что у него не особо сильная рука, которая не хочет ставить, но и не собирается уравнивать крупные беты — хочет вскрыться задешево.
• Решение: большой бет на ривере. Вы обновили свою модель, предположив, что пассивность — это свидетельство слабости, и что блеф сработает с высокой вероятностью.

Итог для покериста

Теорема Байеса в покере — это не про вычисление точных процентов за столом, на что нет времени. Это стиль мышления: «Окей, я думал о его руке определенным образом. Он сходил так. Учитывая это, какие из его рук остаются вероятными, а какие — нет?»

Чем лучше вы понимаете, как действия оппонента фильтруют его возможные руки, тем точнее вы будете читать их и принимать правильные решения. Это основа современной стратегии покера.